Question

4．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）

• A． y=-$\frac{1}{x}$
• B． y=log₂（x-1）
• C． y=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{-{3}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$
• D． y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可．

解答 解：对于A：x≠0，在定义域内不存在单调性；
对于B：x＞1，不是奇函数；
对于C：定义域是R，且递增，但是函数不是奇函数；
对于D：由x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0，解得：x∈R，定义域关于原点对称，
由f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln$\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$=-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=-f（x），
y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）是增函数，
故函数y=f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）递增且是奇函数，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道基础题．