Question

已知f（x）是定义R在上的偶函数，f（x）在（0，+∞）上为减函数，f（

1

2

）=0，则不等式f（log

1

9

x）＜0的解集为（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（3，+∞）
• C．（1，

  1

  3

  ）∪（3，+∞）
• D．（

  1

  3

  ，1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得f（x）在（-∞，0）上为增函数，结合f（

1

2

）=0，可得f（x）＜0的解集，进而将不等式f（log

1

9

x）＜0转化为对数不等式，根据对数的性质，可得答案．

解答：解：∵f（x）是定义R在上的偶函数，
且f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，
又∵f（-

1

2

）=f（

1

2

）=0
故当x∈（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）时，f（x）＜0
若f（log

1

9

x）＜0，则
log

1

9

x＜-

1

2

，或log

1

9

x＞

1

2

解得x∈（0，

1

3

）∪（3，+∞）
故选C

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，对数不等式的解法，其中熟练掌握对数函数的单调性及定义域，是解答的关键．