Question

10．某中学生心理咨询中心服务电话接通率为$\frac{3}{4}$，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，
求（1）他们中成功咨询的人数为X的分布列及期望；
（2）至少一人拨通电话的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意知X～B（3，$\frac{3}{4}$），由此能求出X的分布列及期望．
（2）利用对立事件概率计算公式能求出至少一人拨通电话的概率．

解答 解：（1）由题意知，
用X表示成功咨询的人数，则X服从X～B（3，$\frac{3}{4}$），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

E（X）=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．（8分）       
（2）至少一人拨通电话的概率：
P=1-$\frac{1}{64}$=$\frac{63}{64}$．（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．