Question

3．以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数，0＜α＜π）$，曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线A与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（$\frac{1}{2}$，0），当α=$\frac{π}{3}$时，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）当α=$\frac{π}{3}$时，求得直线l的参数方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，整理得：y²=2x，
所以曲线C的直角坐标方程为y²=2x；…（5分）
（2）因为$α=\frac{π}{3}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=\frac{4}{3}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$
∴|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$\frac{8}{3}$，
|PA|+|PB|的值$\frac{8}{3}$．…（10分）

点评 本题考查抛物线的极坐标方程，直线的参数方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．