题目内容
4．已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数y=$\frac{1}{3}$x3-ax2+bx+c有极值的概率（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
分析 由函数有极值可得b＜a2，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．
解答 解：对y=$\frac{1}{3}$x3-ax2+bx+c求导数可得y′=x2-2ax+b，
由函数有极值可得△=4a2-4b＞0，即b＜a2，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，
由定积分可得S=${∫}_{0}^{1}{a}^{2}da$=$\frac{1}{3}$a3${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，而正方形的面积为1，
∴所求概率为P=$\frac{1}{3}$，
故选：B．
点评 本题考查几何概型的求解，涉及导数和积分的知识，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线C：y2=8x的焦点为F，椭圆C2：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，离心率为$\frac{1}{2}$，且F为线段OA的中点，O为坐标原点．