Question

20．已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为3，则该正三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． 4π
• C． $\frac{32}{3}π$
• D． 16π

Answer 1

分析 由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：如图，∵正三棱锥A-BCD中，底面边长为 3，
侧棱长为2，BE=$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•3=$\sqrt{3}$，∴高AE=$\sqrt{{AB}^{2}{-BE}^{2}}$=1．
由球心O到四个顶点的距离相等，
在直角三角形BOE中，BO=R，EO=$\sqrt{{OB}^{2}{-BE}^{2}}$=1-R，
由BO²=BE²+EO²，得R²=3+（1-R）²，R=2，
∴外接球的半径为，表面积为：$\frac{4}{3}$•π•R³=$\frac{32π}{3}$，
故选：C．

点评 本题属于中档题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．