Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1=a²_n-na_n+1（n∈N⁺）
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并猜想a_n（不需要证明）
（2）当a₁≥3时，判断a_n与n+2的大小，并用数学归纳法证明之．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=2代入计算即得结论；
（2）先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式a_n≥n+2恒成立．

解答 解：（1）依题意，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5，
猜想a_n=n+1，
（2）结论：a_n≥n+2的关系．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
≥（k+2）（k+2-k）+1
=2k+5
≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2；
由①、②可知：对于所有n≥1，有a_n≥n+2．

点评 本题考查数列的通项，考查数列归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．