Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．
（1）求点A到平面PCD的距离；
（2）若点Q为线段BP的中点，求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，计AP与平面PCD所成的角的正弦值，即可得出A到平面PCD的距离；
（2）证明BP⊥平面ADQ，则$\overrightarrow{BP}$为平面ADQ的一个法向量，计算|cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CQ}$＞|即为直线CQ与平面ADQ所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}$=2，cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．
设AP与平面PCD所成角为θ，则sinθ=$\frac{2}{3}$．
∴A到平面PCD的距离为|AP|sinθ=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵PA=AB，Q是PB的中点，
∴AQ⊥PB，
又AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴AD⊥PB，
又AQ?平面ADQ，AD?平面ADQ，AQ∩AD=A，
∴PB⊥平面ADQ，
∴$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2）为平面ADQ的一个法向量．
又Q（1，0，1），C（2，1，0），∴$\overrightarrow{CQ}$=（-1，-1，1）．
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=4，cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{CQ}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线CQ与平面ADQ所成角为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间角的计算，多采用向量法来解决问题，属于中档题．