Question

20．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图，
（Ⅰ）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
（Ⅱ）用样本估计总体，如果90%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由（精确到0.01）；
（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量（看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知能补充完整频率分布直方图．
（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.83吨．样本中月均用水量不低于2.83吨的居民有10位，由此能求出结果．
（Ⅲ）依题意可知，居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是$\frac{9}{10}$，则$X～B（3，\frac{9}{10}）$，由此能求出X的分布列和均值．

解答 解：（Ⅰ）由已知频率分布直方图补充完整如下图：

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.83吨．
样本中月均用水量不低于2.83吨的居民有10位，占样本总体的10%，
由样本估计总体，要保证90%的居民每月的用水量不超出标准，
月均用水量的最低标准应定为2.83吨．
（Ⅲ）依题意可知，居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是$\frac{9}{10}$，
则$X～B（3，\frac{9}{10}）$，
$P（X=0）={（{\frac{1}{10}}）^3}=\frac{1}{1000}$，
$P（X=1）={C_3}^1•\frac{9}{10}•{（{\frac{1}{10}}）^2}=\frac{1}{1000}$，
$P（X=2）={C_3}^2•{（{\frac{9}{10}}）^2}•\frac{1}{10}=\frac{243}{1000}$，
$P（X=3）={（{\frac{9}{10}}）^3}=\frac{729}{1000}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{1000}$	$\frac{27}{1000}$	$\frac{243}{1000}$	$\frac{729}{1000}$

$E（X）=3•\frac{9}{10}=2.7$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．