Question

16．已知曲线C的极坐标方程为ρ²+4ρcos（θ-$\frac{π}{6}}$）-5=0．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点P（x，y）在曲线C上，求使$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，化简可得结果，它的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+3cosθ}\\{y=-1+3sinθ}\end{array}\right.，θ为参数$，
（2）$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立转化为a≥6cos（θ+$\frac{π}{6}$）-2，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∵ρ²+4ρcos（θ-$\frac{π}{6}}$）-5=0．
∴ρ²+4ρ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）-5=0．
∴x²+y²+2$\sqrt{3}$x+2y-5=0，
∴（x+$\sqrt{3}$）²+（y+1）²=9，
参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+3cosθ}\\{y=-1+3sinθ}\end{array}\right.，θ为参数$；
（2）∵$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立，
∴$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$+3cosθ）-（-1+3sinθ）+a≥0，
∴a≥6cos（θ+$\frac{π}{6}$）-2，
∵-1≤6cos（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴a≥6-2=4，
故a的取值范围为[4，+∞）

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．