Question

1．设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：依据题意得$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-1-4m²（x²-1）≤（x-1）²-1+4（m²-1）在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒定成立，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
当x=$\frac{3}{2}$时，函数y=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用．