Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=5，S₁₅=225，可得a₁+2d=5，15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=225，联立解得a₁，d．即可得出；
（II）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{2}•{4}^{n}$+2n，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=5，S₁₅=225，
∴a₁+2d=5，15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=225，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1；
（II）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{2}•{4}^{n}$+2n，
∴{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$+$2×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{2}{3}$×4ⁿ+n²+n-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．