Question

如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点

（1）证明：；

（2）设，求三棱锥的体积

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连接交于点，易证是的中位线，，由三角形的中位线定理易证，进而证明；（2）求四面体体积，难点在于求高，若不易求，则可考虑等体积转化，本题，易证面，则的高，再求底面的面积，进而求体积．

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，

又D是AB的中点，连接DF，则． 2分

因为平面A1CD，平面A1CD， 4分

所以BC1∥平面A1CD 5分

（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,

因为CD平面ABC， 所以AA1⊥CD， 6分

由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB， 7分

又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， 8分

由AA1=AC=CB=2，AB=得

∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3，

故A1D2+DE2=A1E2，DE⊥A1D，

所以 12分

考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、四面体的体积．