题目内容

设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20082
+
1
20092
，则不大于S的最大整数[S]等于（　　）
A、2007B、2008
C、2009D、3000
分析：由通项an=
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
进行通分，把被开方式化成完全平方式，达到去掉根号的目的，从而求得数列的和．
解答：解：∵
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
1+
2n2+2n+1
n2(n+1)2
=
1+
2
n(n+1)
+
1
n2(n+1)2

=1+
1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1

∴s=2008+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2008
-
1
2009

=2008+
2008
2009

∴[S]=2008．
点评：数列求和，抓住数列的通项公式，属中档题．裂项法的应用．
练习册系列答案
相关题目
设S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，设S=
S1
+
S2
+…+
Sn
．
（1）设Tn=S，求Tn（用含n的代数式表示）
（2）求使Tn≥2011的最小正整数值．
设A（0，0），B（1，2），C（3，5），则S△ABC=
|
1
2
.
00  1
12  1
35  1
.
|
|
1
2
.
00  1
12  1
35  1
.
|
（用行列式表示）
设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
20122
+
1
20132
，则不超过S的最大整数[S]的值为（　　）

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