题目内容

已知数列a_n满足2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1，则a_n=________．

$\text{[math]}$
分析：根据题干条件求出2a₁+2²a₂+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，与题干等式相减即可求出数列{a_n}的表达式．
解答：∵2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1…①，
∴2a₁+2²a₂+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1…②，
①-②得2ⁿa_n=3×4^n-1，
∴ $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出2a₁+2²a₂+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，此题比较简单．

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=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=

．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：an＞

=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=

．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则：
①当a=1时，证明：an＞

；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+S_n≠0时，
证明：

已知函数f（x）=

，（a＞0），
（Ⅰ）当f（x）∈[

]时，求x的取值范围．
（Ⅱ）若f（0）=0，正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①证明{

+1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
②若S_n是数列{a_n}的前n项和，证明：S_n＜2．

已知数列a_n是等比数列，b_n是等差数列，且b₁=0，数列c_n满足c_n=a_n+b_n，其前四项依次为1，a，2a，2，求数列c_n的前n项和S_n．