题目内容
7．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+$\frac{7}{2}$a2-a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=$\frac{1}{7}$，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．
分析 （1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
（2）设f（x）=y1-y2=ax+$\frac{7}{2}$a2-a-（-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x2+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a2-a-1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论．
解答 解：（1）若a=$\frac{1}{7}$，y1=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
y2＞y1，即-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1＞$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y1=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
商品的月销售额等于（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x，在（1，6）上单调递增，（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x＜$\frac{33}{7}$；
y2≤y1，即-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1≤$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y2=-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1，
商品的月销售额等于y=（-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1）x，y′=-$\frac{1}{224}$（x-8）（3x+28），
∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值$\frac{36}{7}$＞$\frac{33}{7}$，
∴商品的价格为8百元时，该商品的月销售额最大；
（2）设f（x）=y1-y2=ax+$\frac{7}{2}$a2-a-（-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x2+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a2-a-1
因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，
所以f（6）≤0，f（14）＞0，?
所以0＜a≤$\frac{1}{7}$．
点评 本题考查函数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
名校课堂系列答案| A． | 在平面α内没有直线与直线a垂直 | |
| B． | 在平面α内有且只有一条直线与直线a垂直 | |
| C． | 在平面α内有无数条直线与直线a垂直 | |
| D． | 在平面α内存在两条相交直线与直线a垂直 |
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的解析式是（ ）| A． | y=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$） | B． | y=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{5π}{6}$） | C． | y=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$） | D． | y=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{5π}{6}$） |
| A． | a＞1 | B． | a＜1 | C． | a≥1 | D． | a≤1 |
某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．