Question

1．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，命题q：双曲线：$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1的离心率e∈（1，2）
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可；（2）分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到a的范围．

解答 解：（1）由题意ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0对任意x∈R恒成立，
当a=0时，不符题意，舍去；
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4a•\frac{1}{16}a＜0}\end{array}\right.$
解得：a＞2．
∴实数a的取值范围是a＞2；
（2）由双曲线：$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1的离心率e∈（1，2），
∴e²=$\frac{5+a}{5}$．
∵离心率e∈（1，2），
∴1＜$\frac{5+a}{5}$＜4．
∴0＜a＜15．
∴a的取值范围为（0，15）．
p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，
综上，0＜a≤2或a≥15．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、双曲线的性质，是一道基础题．