Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=$\sqrt{5}$，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为3．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=$\sqrt{5}$，b=3，
∴由正弦定理可得：c=2a=2$\sqrt{5}$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{5+20-9}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}×\frac{3}{5}$=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．