题目内容
（2012•西区一模）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
（n∈N*）
（1）证明：数列{
}为等差数列，并求{an}的通项公式
（2）如果数列{
}的前n项和为Sn，求Sn．
| an |
| an+1 |
（1）证明：数列{
| 1 |
| an |
（2）如果数列{
| 2n |
| an |
分析：（1）an+1=
可化为
-
=1，即可得到数列{
}为等差数列，从而可求{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列的和．
| an |
| an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列的和．
解答：（1）证明：∵an+1=
∴
-
=1
∵a1=1，
∴数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴
=n，∴an=
；
（2）解：
=n•2n
∴Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②可得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
-n•2n+1=（1-n）•2n+1•2n+1-2
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
| an |
| an+1 |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
∵a1=1，
∴数列{
| 1 |
| an |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| n |
（2）解：
| 2n |
| an |
∴Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②可得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．
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