Question

设是函数的零点．

（1）证明：；

（2）证明：．

Answer 1

证明：（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，

所以函数在内有零点．…………………………………2分

因为，

所以函数在上单调递增．

所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．

而是函数的零点，

所以．…………………………………………4分

（2）先证明左边的不等式：

因为，

由（1）知，

所以．

即．

所以．

所以．…………………6分

以下证明．              ①

方法1（放缩法）：因为，

所以

．…………………………9分

方法2（数学归纳法）：1）当时，，不等式①成立．

2）假设当（）时不等式①成立，即

．

那么

．

以下证明．    ②

即证．

即证．

由于上式显然成立，所以不等式②成立．

即当时不等式①也成立．

根据1）和2），可知不等式①对任何都成立．

所以．…………………………………………9分

再证明右边的不等式：

当时，．

由于，，

所以．

由（1）知，且，所以．

因为当时，，所以当时，

                                     ．

所以当时，都有．

综上所述，．…