Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）解不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）；
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）将不等式f[x（x-

1

2

）]＜0进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答： 解：（1）令x=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）设x₁＜x₂，则
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（

x2

x1

）=f（x₂），
则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内是增函数．
（3）不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．
等价为不等式f[x（x-

1

2

）]＜f（1）．
∵f（x）在定义域内是增函数，
∴x（x-

1

2

）＜1，
即2x²-x-2＜0，

1- 17

4

＜x＜

1+ 17

4

，
即不等式的解集为（

1- 17

4

，

1+ 17

4

）．

点评：本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．