Question

9．抛物线y²=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是（1，-1）．

Answer 1

分析 设P纵坐标是a代入抛物线方程求得横坐标，进而表示出P到x-2y+3=0距离，进而根据一元二次函数的性质求得当a=-1，a²-2a+3最小，进而求得P点横坐标，答案可得．

解答 解：设此点为P纵坐标是a
则a²=x
所以P（a²，a）
P到x-2y+3=0距离d=$\frac{|{a}^{2}-2a+3|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$
∵a²-2a+3=（a+1）²+2
所以当a=-1，a²-2a+3最小
所以P（1，-1）．
故答案为：（1，-1）．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，因此倍受高考命题人的青睐．