Question

5．已知数列{a_n}是公差d≠0的等差数列，a₂、a₆、a₂₂成等比数列，a₄+a₆=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）令${b}_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项为1，公差为3，即可得到所求通项公式；
（2）求得${b}_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$=（3n-2）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₂、a₆、a₂₂成等比数列，可得：
a₆²=a₂a₂₂，即为（a₁+5d）²=（a₁+d）（a₁+21d），
化为d=3a₁，①
a₄+a₆=26，即为2a₁+8d=26，②
由①②解得a₁=1，d=3，
可得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=3n-2；
（2）${b}_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$=（3n-2）•2^n-1，
前n项和T_n=1•1+4•2+7•2²+…+（3n-2）•2^n-1，
即有2T_n=1•2+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
两式相减可得-T_n=1+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ，
化简可得前n项和T_n=5+（3n-5）•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，等比数列的求和公式的运用，属于中档题．