Question

    已知函数，记数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=f(1),当n≥2时，.

    (1)计算a₁，a₂，a₃，a₄;

    (2)求出数列{a_n}的通项公式，并给予证明.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)由已知，当n≥2时，,     ∵，     ∴,     即.     又a1=f(1)=2,     由,     得a2=3; 由,     解得a3=4; 由,解得a4=5.     (2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N).     以下用数学归纳法证明：     (a)当n=1时命题成立.     (b)设n=k时，ak=k+1(k∈N). 由,     ,         =     =     =2k+4.     ak+1=(k+1)+1,     即当n=k+1时命题也成立.     故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n+1.