Question

17．抛物线C₁：y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|=2，双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C₂的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义求出P的坐标，根据双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线恰好过P点，可得$\frac{b}{a}$=2，确定a，c的关系，即可求出双曲线C₂的离心率．

解答 解：抛物线C₁：y²=4x的焦点为F（1，0）．
∵点P为抛物线上一点，且|PF|=2，
∴P（1，±2），
∵双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线恰好过P点，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴b=2a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线C₂的离心率，考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．