Question

16．已知f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求值域．

Answer 1

分析 利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化积．
（1）直接利用周期公式求得周期；
（2）由x得范围求得相位的范围，则函数值域可求．

解答 解：由f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=1$．
∴$f（x）=\sqrt{3}co{s}^{2}x+sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$2x+\frac{π}{4}$）．
（1）T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴$2x+\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，即函数值域为[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的周期性及其求法，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．