题目内容

2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．
（1）求水面EF的宽度；
（2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

设抛物线方程为x²=2py（p＞0），由点A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即 $\text{[math]}$ ，所以抛物线方程为x²= $\text{[math]}$ ，
由点E的纵坐标为1，得到点E横坐标为 $\text{[math]}$ ，所以截面图中水面宽度为 $\text{[math]}$ m．
（2）设抛物线上一点M $\text{[math]}$ ，因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，
所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土．
由 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，求导得y'=3x，所以过点M的切线斜率为3t，切线方程为 $\text{[math]}$ ，
令y=0，则 $\text{[math]}$ ，
所以截面面积为S= $\text{[math]}$ ，当且仅当t= $\text{[math]}$ 时等号成立．
所以截面梯形的下底边长为 $\text{[math]}$ m时，才能使所挖的土最少．
分析：（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度．
（2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、 $\text{[math]}$ ，求得对应的x的值，从而表示出截面面积，最后根据基本不等式的性质可求得t的值．
点评：本题主要考查抛物线在实际生活中的应用．抛物线在现实生活中应用很广泛，在高考中也占据很重要的地位，所以希望广大考生在学习这里的知识时能够做到活学活用．