Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$BC=2，∠BAD=45°，E为线段AB的动点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，则直线DC与平面A′DE所成角的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 过A作AH⊥DE，则AH⊥平面A′DE，于是∠AEH为AE与平面A′DE所成的角，也是CD与平面A′DE所成的角，在△ADE中使用正弦定理用DE表示出sin∠AED，根据DE的范围即可得出所求线面角的范围．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=$\sqrt{2}$BC=2，∠BAD=45°，
∴AD=$\sqrt{2}$，
过A作AH⊥DE，
∵平面A′DE⊥平面BCD，平面A′DE∩平面BCD=DE，AH?平面ABCD，
∴AH⊥平面A′DE，
∴∠AEH为AE与平面A′DE所成的角．
∵CD∥AE，
∴∠AEH为CD与平面A′DE所成的角．
∴∠AED为CD与平面A′DE所成的角或其补角．
在△ADE，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠AED}=\frac{DE}{sinBAD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{sin∠AED}=\frac{DE}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{DE}$．
∵E在线段AB上，
∴当E与B重合时，DE最大，sin∠AED取得最小值．
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2AD•ABcos45°}$=$\sqrt{2}$．
∴sin∠AED=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴线DC与平面A′DE所成角的最小值为$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了线面角的作法与计算，属于中档题．