Question

10．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线y=x-4与抛物线相交于A，B两点，求三角形AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接代入抛物线标准方程为y²=2px，即可求出；
（Ⅱ）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合S_△ABC=|OM||x₁-x₂|，求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线标准方程为y²=2px，）
∵抛物线过点（1，2），
∴4=2p即p=2，
∴y²=4x；
（Ⅱ）由题意可知直线AB斜率是1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$由\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.消去y得{x^2}-12x+16=0$，
∴x₁+x₂=12，x₁•x₂=16，
∴$|{AB}|=4\sqrt{10}$，又O点到AB距离为$d=2\sqrt{2}$，
∴${S_△}_{ABC}=16\sqrt{5}$

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．