题目内容

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）若存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，求证λ2+μ2=1；
（2）若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围．

分析 （1）利用已知得到两个向量的模以及数量积，只要将$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$两边平方，展开整理即得；
（2）由题意，设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，得到向量$\overrightarrow{c}$满足的等量关系，结合所求的几何意义可得．

解答 解：（1）证明：因为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．所以${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
且存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，则${\overrightarrow{c}}^{2}=（λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}）^{2}$=${λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}+2λμ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=λ2+μ2=1，所以λ2+μ2=1；
（2）因为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．所以设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，得到-x（1-x）-y（1-y）≤0，整理得（x-$\frac{1}{2}$）2+（y-$\frac{1}{2}$）2≤$\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{c}$表示以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），为圆心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆面，又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，
由几何意义得到它的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为0，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围为[0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及向量垂直的性质运用；（2）中运用了坐标法的思想．

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 x 23  45 
 y26  3949  54
A．9.4B．9.5C．9.6D．9.7

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