Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{a^n}$-1），求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，从而可求数列的通项，
（2）先求出b_n，再分n为偶数和你为奇数两类计算即可．

解答 解：（1）∵a_n+S_n=1，∴n≥2时，a_n-1+S_n-1=1
两式相减可得：2a_n=a_n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2）
∵n=1时，a₁+S₁=1，∴a₁=$\frac{1}{2}$
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{a^n}$-1）=（-1）ⁿ•（2ⁿ-1），
∴T_n=（-1）¹•（2¹-1）+（-1）²•（2²-1）+（-1）³•（2³-1）+（-1）⁴•（2⁴-1）+…+（-1）ⁿ•（2ⁿ-1），
当n=偶数时，
∴T_n=-（2¹-1+2³-1+2⁵-1+…+2^n-1-1）+（2²-1+2⁴-1+…+2ⁿ-1）=-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-4}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1），
当n为奇数时，T_n=-（2¹-1+2³-1+2⁵-1+…+2ⁿ-1）+（2²-1+2⁴-1+…+2^n-1）=-$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-4}$+$\frac{n+1}{2}$+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-4}$-$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{1}{3}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{2}{3}，n为偶数}\\{\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查了数列的通项公式和数列的前n项和公式，属于中档题．