Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）两点，
（1）椭圆C短轴顶点分别为A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求椭圆C的方程及$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）已知双曲线E的焦点是椭圆C的左右顶点，一条渐近线方程为y=x；求双曲线E的标准方程．

Answer 1

分析 （1）将两点坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，由题意可知M在长轴顶点，即可求得$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）由（1）求得双曲线的焦点坐标，由y=x，则双曲线为等轴双曲线，由双曲线的关系，求得双曲线E的标准方程．

解答 解：（1）将（1，1）与（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=$\frac{3}{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{2y}^{2}}{3}=1$，
若点A，B在椭圆的短轴的顶点上，
则点M在长轴顶点上，则$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$=$\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}$=2（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=2，
∴$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值2；
（2）由双曲线焦点坐标F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
由双曲线的渐近线y=x，
则双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线渐近线方程，考查计算能力，属于基础题．