Question

12．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求三角形PAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求直线l以及曲线C的普通方程，可得相应极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求出|AB|，P到直线y=x的距离，即可求三角形PAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=x，极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$；
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），普通方程为$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}$=4，极坐标方程为${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρcosα-4\sqrt{2}ρsinα-6=0$；
（Ⅱ）设直线l与曲线联立，可得${x}^{2}-3\sqrt{2}x-3$=0，∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{18+12}$=$\sqrt{60}$，
点P的极坐标为（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），即（0，3$\sqrt{2}$）到直线y=x的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
∴三角形PAB的面积=$\frac{1}{2}×\sqrt{60}×3$=3$\sqrt{15}$．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．