Question

12．（1）求函数$f（x）=2cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）$的单增区间；
（2）函数$y=3{cos^2}x-4cosx+1，x∈[0，\frac{π}{2}]$的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出单增区间即可；
（2）函数解析式配方变形后，由x的范围求出cosx的范围，利用二次函数的性质确定出最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
则f（x）的单增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）y=3cos²x-4cosx+1=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，
∴-$\frac{1}{3}$≤y≤1，
则函数y的最小值为-$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了三角函数中的恒等变换应用，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及二次函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．