Question

已知抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，且抛物线上一点N（m，-2）到焦点的距离为6
（1）求此抛物线的方程；
（2）设抛物线方程的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于AB两点，且交准线l于点M，已知

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知设抛物线的方程为：x²=2py（p＜0），由N（m，-2）到准线的距离为6，可得：-

p

2

+2=6，解得p值后，可得抛物线的方程；
（2）设直线l：y=kx-4，M点坐标为（

8

k

，4），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-4 x2=-16y

可得：x²+16kx-64=0，再由根的判别式和韦达定理能求出λ₁+λ₂的值．

解答： 解：（1）∵抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，抛物线上一点N（m，-2）到焦点的距离为6，
∴可设抛物线的方程为：x²=2py（p＜0），
∴N（m，-2）到准线的距离为6，
即-

p

2

+2=6，解得：p=-8，
∴抛物线的方程为：x²=-16y，
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，
由抛物线x²=-16y的焦点F为（0，-4），准线方程为y=4，
所以可设l：y=kx-4，则M点坐标为（

8

k

，4），
设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-4 x2=-16y

⇒x²+16kx-64=0
∴x₁+x₂=-16k，x₁•x₂=-64，
又由

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，
∴（x₁-

8

k

，y₁-4）=λ₁（-x₁，-4-y₁），
∴x₁-

8

k

=-λ₁x₁，
∴即λ₁=

8

kx1

-1，
同理λ₂=

8

kx2

-1，
∴λ₁+λ₂=

8

kx1

-1+

8

kx2

-1=

8(x1+x2)

kx1•x2

-2=0

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质，是解答的关键．