Question

7．已知数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n-1）•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件可以推知a_n=2a_n-2a_n-1⇒a_n⇒2a_n-1，结合等比数列的定义推知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等边数列，则易求通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和．

解答 解：（Ⅰ）S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2⇒a_n=2a_n-2a_n-1⇒a_n⇒2a_n-1
易得：a₁=2，
则${a_n}={2^n}$．
（Ⅱ）${T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-3）{2^{n-1}}+（2n-1）{2^n}$，①
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（2n-3）{2^n}+（2n-1）{2^{n+1}}$．②
①-②得，$-{T_n}=2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}-（2n-1）{2^{n+1}}$．
=$2+2×\frac{{4（1-{2^{n+1}}）}}{1-2}-（2n-1）{2^{n+1}}=-6-（2n-3）{2^{n+1}}$，
${T_n}=6+（2n-3）{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了数列的求和，数列的递推式．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．