Question

2．已知圆C的圆心C（1，2），且圆C与x轴相切，过原点O的直线与圆C相交于P、Q两点，则$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$的值是1．

Answer 1

分析 可取PQ的中点D，并连接CD，CP，CQ，OC，从而得到CD⊥PQ，根据向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算便可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$，而$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DP}$，从而进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}={\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$，带入前面的式子即可求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 解：如图，
取PQ中点D，连接CD，CP，CQ，OC，则CD⊥PQ；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}）•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{CQ}）+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{CD}+（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}）$$•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DP}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+2（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{CD}$$+{\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-2{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-（{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DP}}^{2}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-{\overrightarrow{CP}}^{2}$
=5-4
=1．
故答案为：1．

点评 考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算及计算公式，向量数量积的坐标运算．