题目内容
若x、y是正数．x、a、b、y四个数成等差数列，x、m、n、y四个数成等比数列．则
的取值范围是（ ）
| (a+b)2 |
| mn |
分析：由等差数列的性质可得a+b=x+y，由等比数列的性质可得mn=xy，进而可得
=
=
+
+2，由基本不等式计算可得
的最小值，可得
的范围，即可得答案．
| (a+b)2 |
| mn |
| (x+y)2 |
| xy |
| y |
| x |
| x |
| y |
| (a+b)2 |
| mn |
| (a+b)2 |
| mn |
解答：解：根据题意，x、a、b、y四个数成等差数列，则a+b=x+y，
x、m、n、y四个数成等比数列，则mn=xy，
则
=
=
+
+2，
又由x、y是正数，可得
、
都是正数，
则
=
+
+2≥2
+2=4，
即
的最小值为4，其取值范围是[4，+∞）；
故选D．
x、m、n、y四个数成等比数列，则mn=xy，
则
| (a+b)2 |
| mn |
| (x+y)2 |
| xy |
| y |
| x |
| x |
| y |
又由x、y是正数，可得
| y |
| x |
| x |
| y |
则
| (a+b)2 |
| mn |
| y |
| x |
| x |
| y |
|
即
| (a+b)2 |
| mn |
故选D．
点评：本题考查基本不等式的应用和等比、等差数列的性质及应用，关键是利用等比、等差数列的性质将
用x、y表示出来．
| (a+b)2 |
| mn |
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