Question

14．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，E、F分别是AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面ACC₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设BC的中点为G，连接EG，证明平面EGF∥平面ACC₁A₁，即可证明直线EF∥平面ACC₁A₁；
（2）令AC、BD相交于点O，连接C₁O，C₁D，C₁B，证明∠BC₁O即为BC₁与平面ACC₁A₁所成角的平面角，即可求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的余弦值．

解答 （1）证明：设BC的中点为G，连接EG．
∵E、G分别是AB、BC的中点，则EG∥AC，
∴EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁．
又∵EG∩FG=G，则平面EGF∥平面ACC₁A₁，
∵EF?平面EGF，
∴EF∥平面ACC₁A₁…（12分）
（2）解：令AC、BD相交于点O，连接C₁O，C₁D，C₁B，
由已知BO⊥AC，BO⊥CC₁，且CC₁∩CO=C
∴BO⊥平面ACC₁A₁，即OC₁是直线BC₁在平面ACC₁A₁内的射影，
∴∠BC₁O即为BC₁与平面ACC₁A₁所成角的平面角，
显然，△DBC₁为正三角形，且C₁O是BC₁D的角平分线，
∴$∠B{C_1}O=\frac{π}{6}$，即$cos∠B{C_1}O=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
即直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行、线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．