Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AP⊥BC，AB=BC=1，AD=AP=2，E是PD的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；
（2）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{CD}$所成角，可得异面直线AE与CD所成角的大小；
（2）求出$\overrightarrow{BP}$的坐标，再求出平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{BP}$与$\overrightarrow{n}$的余弦值可得直线BP与平面PCD所成的角的正弦值．

解答 解：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∵E为PD的中点，∴点E为（0，1，1），$\overrightarrow{AE}=（{0，1，1}）$，$\overrightarrow{CD}=（{-1，1，0}）$，
则cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=60°，
即异面直线AE与CD所成的角为60°．
（2）设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{PD}=（{0，2，-2}），\overrightarrow{CD}=（{-1，1，0}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x+y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得x=1，z=1．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量．
$\overrightarrow{BP}=（{-1，0，2}）$，$|{\overrightarrow{BP}}|=\sqrt{5}，|n|=\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$，
故直线BP与平面PCD所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题考查线线角与线面角，训练了利用空间向量求异面直线所成角与直线和平面所成角，是中档题．