Question

3．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=3，AB=2，D是BC上的中点，D₁是B₁C₁的中点，
（1）求证：平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
（2）求四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结DD₁，则四边形ADD₁A₁，BDC₁D₁均为平行四边形，得出AD∥A₁D₁，BD₁∥DC₁．故而平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
（2）证明AD⊥平面BCC₁B₁，于是V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形{B}_{1}{C}_{1}CB}•AD$．

解答 证明：（1）连结DD₁，
∵四边形BCC₁B₁是矩形，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，又∵AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴AA₁$\stackrel{∥}{=}$DD₁，
∴四边形ADD₁A₁是平行四边形，
∴AD∥A₁D₁，
∵AD?平面ADC₁，A₁D₁?平面ADC₁，
∴A₁D₁∥平面ADC₁，
同理可得：BD₁∥平面ADC₁．
∵A₁D₁?平面A₁BD₁，BD₁?平面A₁BD₁，A₁D₁∩BD₁=D₁，
∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．
解：（2）∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，AB=2，
∴AD⊥BC，AD=$\sqrt{3}$．
又BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=V${\;}_{A-{B}_{1}BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形{B}_{1}{C}_{1}CB}•AD$=$\frac{1}{3}×2×3×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．