Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋b(a，b∈R)．

(Ⅰ)若a＝1，函数f(x)的图象能否总在直线y＝b的下方？说明理由；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0，2)上是增函数，求a的取值范围；

(Ⅲ)设x₁，x₂，x₃为方程f(x)＝0的三个根，且x₁∈(－1，0)，x₂∈(0，1)，x₃∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，求证：a＞1或a＜－1

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：当时，， 　　因为， 　　所以，函数的图象不能总在直线的下方． 　　(Ⅱ)解：由题意，得， 　　令，解得或， 　　①当时，由，解得， 　　所以在上是增函数，与题意不符，舍去； 　　②当时，由，与题意不符，舍去； 　　③当时，由，解得， 　　所以在上是增函数， 　　又在(0，2)上是增函数，所以，解得， 　　综上，a的取值范围为． 　　(Ⅲ)解：因为方程最多只有3个根， 　　由题意，得在区间内仅有一根， 　　所以， 　　同理， 　　①当时，由①得，即， 　　由②得，即， 　　因为，所以，即； 　　②当时，由①得，即， 　　由②得，即， 　　因为，所以，即； 　　③当时，因为，所以有一根0， 　　这与题意不符． 　　∴或．