题目内容

椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F₁PF₂=45°，则椭圆的离心率e=________．

$\text{[math]}$ -1
分析：根据题意，等腰Rt△F₁PF₂中，PF₂=F₁F₂=2c，且PF₁=2 $\text{[math]}$ c，结合椭圆的定义得到PF₁+PF₂=2a=（1+ $\text{[math]}$ ）2c，最后由椭圆的离心率公式，可求得椭圆的离心率e．
解答：∵Rt△F₁PF₂中，PF₂⊥F₂F₁且∠F₁PF₂=45°，
∴PF₂=F₁F₂=2c，PF₁= $\text{[math]}$ F₁F₂=2 $\text{[math]}$ c，
∵点P在椭圆 $\text{[math]}$ 上，
∴PF₁+PF₂=2a=（1+ $\text{[math]}$ ）2c
因此，椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1
故答案为： $\text{[math]}$ -1
点评：本题给出椭圆上一点与两个焦点构成以焦点为直角顶点的直角三角形，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念等知识，属于基础题．

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=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线l过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁与点P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

给出以下5个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=(1，-2)平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量

夹角为锐角θ，且满足 |

=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

且经过点P(1，

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

（2011•重庆一模）给出以下4个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=（1，-2）平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，则使x-y取得最小值的最优解有无数多个；
③设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
④若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号为

（本题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。