Question

17．已知圆O是△ABC的内切圆，与AC，BC分别切于D，E两点，如图所示，连接BD交圆O于点G，BC=BA=2$\sqrt{2}$，AC-4
（I）求证：EG∥CO；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结DE，∠CBA的平分线与AC边上的中线重合，圆心O在直线BD上，CO是∠ECD的角平分线，由此能证明EG∥CO．
（Ⅱ）AD=DC=2，且∠BDC=90°，由勾股定理得BD=2，由圆的切线长定理，得BE=2$\sqrt{2}-2$，再由切割线定理能求出BG．

解答 证明：（Ⅰ）连结DE，∵BC=BA，∴∠CBA的平分线与AC边上的中线重合，
三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，
∴圆心O在直线BD上，
∴GD为圆O的直径，∴EG⊥ED，∴CO是∠ECD的角平分线，
又⊙O与AC、BC分别相切于D、E两点，
∴CE=CD，∴ED⊥CO，
∴EG∥CO．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=2，且∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD²=BC²-CD²=（2$\sqrt{2}$）²-2²=4，
∴BD=2，
由圆的切线长定理，得CE=CD=2，
∴BE=2$\sqrt{2}-2$，
由切割线定理得BE²=BG•BD，即（2$\sqrt{2}-2$）²=BG•2，
解得BG=6-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两直线平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理、切线长定理、切割线定理的合理运用．