Question

18．设f（x）=sin²（$\frac{π+2x}{4}$）•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx-sinx）．
（1）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函数，求ω的取值范围；
（2）设集合A={x|$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2}{3}$π}，B={x|f（x）-m＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合正弦函数的单调增区间，y=f（ωx）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函数，说明（-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）⊆（-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$），由此能求出ω的取值范围；
（2）简化集合B，利用A⊆B，得到恒成立的关系式，求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²（$\frac{π+2x}{4}$）•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=4sinx•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∴f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得f（ωx）的增区间是（$\frac{2kπ}{ω}$-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{2ω}$），k∈Z．
∵y=f（ωx）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函数，
∴（-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）⊆（-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$）．
∴-$\frac{π}{2}$≥-$\frac{π}{2ω}$且$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2ω}$，
∴ω∈（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）由|f（x）-m|＜2，得-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2．
∵A⊆B，∴当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2}{3}π$时，
不等式f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，
∴f（x）_min-2＜m＜f（x）_max+2，
∵f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=3，f（x）_min=f（$\frac{π}{6}$）=2，
∴m∈（1，4）．

点评 本题是中档题，以向量的数量积为平台，考查三角函数的基本公式的应用，函数的单调性，以及函数的值域的求值范围，恒成立的应用，考查计算能力，转化思想．