Question

由动点P引圆x²+y²=10的两条切线PA，PB，直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．
（1）若k₁+k₂+k₁k₂=-1，求动点P的轨迹；
（2）若点P在x+y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，待定系数法给出切线的方程，与圆的方程联立，消元得到关于k的一元二次方程，然后用根与系数的关系即可得到k₁+k₂与k₁k₂代入k₁+k₂+k₁k₂=-1即可得到点P的坐标满足的轨迹方程．、
（2）点P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，所以，k₁k₂=-1由上题的结论知

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1再将y₀=m-x₀代入即得关于m的方程，此方程有根，故可有判别式求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）设P（x₀、y₀），
则|x₀|≠

10

，且x₀²+y₀²≠10，切线l：y-y₀=k（x-x₀）．
由l与圆相切，得

|kx0-y0|

k2+1

=

10

．
化简整理得（x₀²-10）k²-2x₀y₀k+y₀²-10=0．
由韦达定理及k₁+k₂+k₁k₂=-1，得

2x0y0

x 2 0 -10

+

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1，化简得x₀+y₀=±2

5

．
即P点的轨迹方程为x+y±2

5

=0且|x₀|≠

10

．即两条直线上各去掉一个点
（2）因为，点P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，
所以，k₁k₂=-1，即

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1，将y₀=m-x₀代入化简得2x₀²-2mx₀+m²-20=0．
由△≥0，得-2

10

≤m≤2

10

．经检验，m的取值范围为[-2

10

，2

10

]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，求解第一问的关键是得到关于两个斜率的一元二次方程，从而得到点P的坐标满足的方程，第二问解题的关键是得到关于参数m的方程，通过所得的方程有解得到参数m的不等式解出其范围，本题考查了转化化归的思想，做题时要注意此类思想的使用．