题目内容

某市规定中学生百米成绩达标标准为不超过16秒．现从该市中学生中按照男、女生比例随机抽取了50人，其中有30人达标．将此样本的频率估计为总体的概率．
（1）随机调查45名学生，设ξ为达标人数，求ξ的数学期望与方差；
（2）如果男、女生采用相同的达标标准，男、女生达标情况如下表：
男女总计
达标a=24b=
 
 
不达标c=
 
d=12
 
总计
 
 
n=50
根据表中所给的数据，完成2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否给出一个更合理的达标方案？
P（K2≥k0）0.0500.0100.001
k03.8416.63510.828
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)
．
考点：独立性检验的应用
专题：应用题,概率与统计
分析：（1）ξ～B（45，0.6），利用公式Eξ=np，Dξ=np（1-p）；
（2）完成表格后求k，即可求出结果．
解答： 解：由题意可知，随机抽取1人，则此人百米成绩达标的概率为
30
50
=0.6．
（1）由题设可知，ξ～B（45，0.6）
故E（ξ）=45×0.6=27，D（ξ）=45×0.6×0.4=10.8．
（2）
男女总计
达标a=24b=630
不达标c=8d=1220
总计3218n=50
k=
50×(24×12-6×8)2
32×18×30×20
≈8.333＞6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”．故男、女生要使用不同的达标标准．
点评：本题重点考查二项分布模型，考查独立性检验，利用公式，正确计算是关键．
练习册系列答案
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设
a
=（cosα，（λ-1）sinα），
b
=（cosβ，sinβ），（λ＞0，0＜α＜β＜
π
2
）是平面上的两个向量，若向量
a
+
b
与
a
-
b
相互垂直，
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
4
5
，且tanα=
1
4
，求tanβ的值．
已知P为椭圆C：
x2
12
+
y2
b2
=1﹙0＜b＜2
3
﹚上异于长轴端点A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到Q，使
HP
=
PQ
，此时Q恰好在以AB为直径的圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若F1、F2为椭圆C的左右焦点，N（0，3），请问在椭圆C上是否存在一点M，使MN-MF1最小，若存在，求出最小值及此时的M点的坐标，若不存在，说明理由．
学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（Ⅲ）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．
（1）已知tanα=3，计算
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
 的值；
（2）已知f（α）=
sin(5π-α)•cos(α+
3π
2
)•cos(π+α)
sin(α-
3π
2
)•cos(α+
π
2
)•tan(α-3π)
化简f（α）．
已知a，b，c∈R，a＞b＞c，且a+b+c=0．
（1）求证：a＞0；
（2）求证：ab+bc+ca＜0．
（1）设f（α）=1-tanα•sin（α-2π）cosα，化简f（α）；
（2）若角α=-
17π
4
，求f（α）式的值．
已知函数y=
3
sinx+cosx．
（1）将函数写成y=Asin（ωx+φ）的形式；
（2）当函数的定义域为[
π
2
，
4π
3
]时，求函数的最小值和最大值．
有以下命题：
①命题“存在x∈R，x2-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x2-x-2＜0”；
②线性回归直线
∧
y
=
∧
b
x+
∧
a
恒过样本中心（
.
x
，
y
），且至少过一个样本点．
③函数f（x）=e-x-ex图象的切线斜率的最大值是-2；
④函数f（x）=x
1
3
-(
1
2
)x的零点在区间（
1
3
，
1
2
）内；
其中正确命题的序号为
 
．

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