Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由四边形BCC₁B₁是正方形得BC₁⊥B₁C，由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁得出A₁B₁⊥BC₁，故BC₁⊥平面A₁B₁C，从而平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）由）∵A₁B₁⊥B₁C₁，B₁B⊥B₁C₁可知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，于是V${\;}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{A}_{1}}•{B}_{1}{C}_{1}$．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=CC₁，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥BC₁，又∵AB∥A₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，又A₁B₁?平面平面A₁B₁C，B₁C?平面A₁B₁C，A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，又BC₁?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面A₁B₁C，
（2）∵A₁B₁⊥B₁C₁，B₁B⊥B₁C₁，A₁B₁?平面ABB₁A₁，B₁B?平面ABB₁A₁，A₁B₁∩B₁B=B₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∵AB⊥BC，∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{A}_{1}}•{B}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了直棱柱的结构特征，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．