Question

如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6.

(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；

(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值；

(3)设过直线AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离.

Answer 1

解法一：(1)证明:平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC，

∴BD⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴AC⊥BD，                                             

又AC⊥AB，BD∩AB=B，∴AC⊥平面ABD，

又AC平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD.                                                    

(2)设BC中点为E，连结AE，过E作EF⊥CD于F，连结AF.由三垂线定理得∠EFA为二面角的平面角.                                                              

由△EFC∽△DBC可求得EF=1.5，

又AE=3，所以tan∠EFA=2，即二面角的平面角的正切值为2.                     

(3)过点D作DG∥BC，且CB=DG，连结AG.设平面ADG为平面α.

∵BC∥平面ADG，所以B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离，设为h，

∵V_C—ADG=V_A—DGC=V_A—BCD，

∴S_△ADG·h=S_△BCD·AE，                                              

∴h=.

∴点B到平面α的距离为.                                             

解法二：如图，以BC的中点O为原点，BC的中垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系,则A(0，0，3)，B(0，3，0)，C(0，-3，0)，D(23，，0).

(1)证明:∵·=(0，3，3)·(2，0，0)=0，

∴CA⊥BD.                                                              

又CA⊥AB，∴CA⊥平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACD.                                                   

(2)设平面ACD的法向量为S=(a,b,c).

∵S·=0,S·=0.

∴

即得

取b=-1，得S=(,-1,1).                                                    

又平面CBD的法向量为=(0,0,3)，

∴cos〈,S〉==.                         

∴tan〈,S〉=2.

∴二面角A-CD-B的平面角的正切值为2.                                    

(3)作DEBC，则平面α就是平面ADE，且E(2，-3，0).设平面ADE的法向量n=(p,q,r)，则

即

解得

取p=，得n=(,0,2).                                                 

∴B到平面α的距离d为

d==.