Question

如图是一块不规则的铁皮，已知AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，曲线段OC是以点O为顶点，且开口向右的抛物线的一段，现用这块铁皮截出一块矩形铁皮，其中矩形的一对邻边分别在AB、BC上，且一个顶点P落在曲线段OC上，设点P到直线AB的距离为t+2，所截矩形铁皮的面积为S，则函数S=f（t）的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：以O为原点，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，由已知条件解得抛物线方程为y²=x，由题意得S=（4-t²）（2+t），由此利用导数性质能求出函数S=f（t）的大致图象．

解答： 解：以O为原点，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
令抛物线方程为y²=2px，（p＞0）
∵AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，
∴C（4，2），
把C（4，2）代入抛物线方程，得p=

1

2

，
∴抛物线方程为y²=x，
由题意得P（t²，t），（0≤t＜2），
∴S=（4-t²）（2+t）
=-t³-2t²+4t+8，
∴S′=-3t²-4t+4，
解S′=0，得t=

2

3

，当t∈（0，

2

3

）时，S′＞0；
当t∈（

2

3

，2）时，S′＜0，
∴当t=

2

3

时，S取最大值为

256

27

．
又当t=0时，y=8，
故选：B．

点评：本题考查函数图象的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．